■ 比

(1) 比例式の計算

等号の左右を見比べてみましょう。

[例1] 3：5＝12：●　の●の値を求めるには？ 12が3の4倍なので、●も5の4倍だと考えます。 ●は、5×4＝20です。 [例2] 4：12＝7：●　の●の値を求めるには？ 12が4の3倍なので、●も7の3倍だと考えます。 ●は、7×3＝21です。 「外外かけて内で割る」＆「内内かけて外で割る」 [例題] 7：15＝●：9　の●の値を求めるには？ ●が比例式の内側にあるので、「外外かけて内で割る」と計算します。 ●は、7×9÷15＝4.2です。 自分で比例式を組み立てましょう。[例題] 5時間で17kmの速さで進む自転車は、3時間で何km進めますか？ 5時間：17km＝3時間：●km　と式にします。 ●が比例式の外側にあるので、「内内かけて外で割る」と計算しましょう。 17×3÷5＝10.2kmと計算できます。

(2) 連比

両方の比例式に登場している比を、最小公倍数にそろえます。

[例題] AとBの比が3：4、BとCの比が6：7のとき、AとCの比は何：何でしょうか？ まず表形式に整理します。 Bの値を12（4と6の最小公倍数）にそろえるように、(1)式を3倍、(2)式を2倍にします。 A：B：C＝9：12：14とわかるので、A：C＝9：14です。

(3) 逆比

左右を入れ替えて逆比を作ります。

[例題] Aの5倍とBの7倍が等しいとき、A：Bは何：何でしょうか？ 左のように式に表わします。 左右を入れ替えて、A：B＝7：5です。 上下を入れ替えても逆比を作ることができます。 [例題] Aの4倍とBの5倍とCの6倍が等しいとき、A：B：Cは何：何：何でしょうか？ 左のように式に表わします。 上下を入れ替えて（逆数をとって）、A：B：C＝：：です。 分母を60に通分すれば比が簡単にでき、A：B：C＝15：12：10とわかります。 速さの違いは、進む距離や時間にどのように関係してくるのでしょう。 [例題] A君の歩く速さは毎分60m、B君は毎分70mです。 2人が同じ時間で進む距離の比は何：何ですか？ また、2人が同じ距離を進むのに必要な時間の比は何：何でしょうか？ AとBの速さの比は、60：70＝6：7です。 速さが速ければ進む距離も長くなるので、進む距離の比も（速さの比と同じで）6：7です。 逆に、速さが速ければ必要な時間は少なくなるので、時間の比は（速さの逆比で）7：6です。

(4) 比例配分

与えられた数値が、比のいくらに相当するのか考えましょう。

[例題] 2000円のお金を、兄と妹で5：3の比になるように分けました。 兄はいくらもらえることになりますか？ 兄の取り分を5、妹の取り分を3と表わします。 与えられている2000円は、比の8に相当しているので、1にあたる金額は2000÷8＝250円です。 兄は比の5に相当する金額（5）をもらえるのだから、250×5＝1250円もらえます。 比の1を求めることを大切にしましょう。 [例題] マッチ棒を使って1辺が2の正方形と1辺が3の正方形を作ったら、その面積は合わせて65cm2ありました。 1辺が2の正方形の面積は何cm2あるのでしょうか？ 1辺が2の正方形の面積は小さな正方形4個ぶんなので4、1辺が3の正方形の面積は小さな正方形9個ぶんなので9とします。 小さな正方形4＋9＝13個ぶんの面積（13）が65cm2なのだから、1は65÷13＝5cm2です。 1辺が2の正方形の面積は、5×4＝20cm2あります。

(5) 相似な図形の面積比・体積比

相似な図形では、対応するどの部分の長さの比も同じです。

[例] 半径が6cmの円Aと半径が10cmの円Bとでは、半径の比が（比を簡単にして）3：5になっています。 このときそれぞれの直径（長さの1種）はAが12cm,Bが20cmなので、直径の比も（比を簡単にして）3：5です。 また円周（長さの1種）の比も、(12×3.14)：(20×3.14)＝12：20＝3：5です。 相似な図形では、長さの比がA：Bならば、面積の比は(A×A)：(B×B)になります。 [例1] マッチ棒を使って1辺が2の正三角形と1辺が3の正三角形を作ったら、 その面積比は正方形のときと同様に(2×2)：(3×3)＝4：9になります。【関連事項】 [例2] 半径の比が2：3の2つの円の面積比も、(2×2×3.14)：(3×3×3.14)＝(2×2)：(3×3)＝4：9です。 相似な立体では、長さの比がA：Bならば、体積の比は(A×A×A)：(B×B×B)になります。 [例] 1辺が4cmの立方体Aと10cmの立方体Bでは、長さの比が（比を簡単にして）2：5です。 このとき、それぞれの立方体の体積の比は(2×2×2)：(5×5×5)＝8：125になります。 ※この立方体の底面積の比は、(2×2)：(5×5)＝4：25です。 　また、側面積や表面積の比も同様に、4：25です。

(6) 歩幅に関係する問題

歩幅の比、歩数の比、距離の比、速さの比、時間の比を整理して考えましょう。

[例題] 兄が4歩で歩く距離を、弟は5歩かけて歩きます。 また、兄が7歩歩く間に、弟は8歩歩きます。 兄が校庭を1周するのに160秒かかるとき、弟は何秒で1周できるのでしょうか？ まず2人の歩幅を比べます。 兄×4歩＝弟×5歩 なので、歩幅の比は4：5の逆比です。【歩幅の比＝5：4】 次に歩数（同じ時間で足を動かす回数）を比べると7：8です。【歩数の比＝7：8】 1歩が5の長さで7歩歩くと5×7＝35だけ進み、1歩が4の長さで8歩歩くと4×8＝32進みます。【距離の比＝35：32】 同じ時間内に歩く距離が多い兄のほうが、歩くのが速いといえます。【速さの比＝35：32】 校庭を1周する時間は、逆に兄のほうが少なくてすみます。【時間の比＝32：35】 弟の1周の時間は、32：35＝160秒：秒という比例式を作って、35×160÷32＝175秒と計算できます。